Question

已知：如图，正方形ABCD，BM、DN分别是正方形的两个外角平分线，∠MAN＝45°，将∠MAN绕着正方形的顶点A旋转，边AM、AN分别交两条角平分线于点M、N，联结MN．

（1）求证：△ABM∽△NDA；

（2）联结BD，当∠BAM的度数为多少时，四边形BMND为矩形，并加以证明．

Answer

（1）见解析；（2）22.5°．

【解析】

（1）由正方形ABCD，BM、DN分别是正方形的两个外角平分线，可证得∠ABM=∠ADN=135°，又由∠MAN=45°，可证得∠BAM=∠AND=45°-∠DAN，即可证得△ABM∽△NDA；
（2）由四边形BMND为矩形，可得BM=DN，然后由△ABM∽△NDA，根据相似三角形的对应边成比例，可证得BM2=AB2，继而求得答案．

（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABC＝∠ADC＝∠BAD＝90°，AB=AD

∵BM、DN分别是正方形的两个外角平分线，

∴∠ABM＝∠ADN＝135°，

∵∠MAN＝45°，

∴∠BAM＝∠AND＝45°﹣∠DAN，

∴△ABM∽△NDA；

（2）【解析】
∵四边形BMND为矩形，

∴BM＝DN，

∵△ABM∽△NDA，

∴，

∴BM2＝AB2，

∴BM＝AB，

∴∠BAM＝∠BMA＝＝22.5°．