Question

如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣2x+8的图象与x轴，y轴分别交于点A，点C，过点A作AB⊥x轴，垂足为点A，过点C作CB⊥y轴，垂足为点C，两条垂线相交于点B．

（1）线段AB，BC，AC的长分别为AB＝　   　，BC＝　   　，AC＝　   　；

（2）折叠图1中的△ABC，使点A与点C重合，再将折叠后的图形展开，折痕DE交AB于点D，交AC于点E，连接CD，如图2．

请从下列A、B两题中任选一题作答，我选择　   　题．

A：①求线段AD的长；

②在y轴上，是否存在点P，使得△APD为等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

B：①求线段DE的长；

②在坐标平面内，是否存在点P（除点B外），使得以点A，P，C为顶点的三角形与△ABC全等？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）8，4，4；（2）①AD=5；②P（0，2）或（0，8）．

【解析】

试题（1）先确定出OA=4，OC=8，进而得出AB=8，BC=4，利用勾股定理即可得出AC；

（2）A．①利用折叠的性质得出BD=8﹣AD，最后用勾股定理即可得出结论；

②分三种情况利用方程的思想即可得出结论；

B．①利用折叠的性质得出AE，利用勾股定理即可得出结论；

②先判断出∠APC=90°，再分情况讨论计算即可．

试题解析：解：（1）∵一次函数y=﹣2x+8的图象与x轴，y轴分别交于点A，点C，∴A（4，0），C（0，8），∴OA=4，OC=8．∵AB⊥x轴，CB⊥y轴，∠AOC=90°，∴四边形OABC是矩形，∴AB=OC=8，BC=OA=4．在Rt△ABC中，根据勾股定理得，AC==4．故答案为：8，4，4；

（2）选A．①由（1）知，BC=4，AB=8，由折叠知，CD=AD．在Rt△BCD中，BD=AB﹣AD=8﹣AD，根据勾股定理得，CD2=BC2+BD2，即：AD2=16+（8﹣AD）2，∴AD=5；

②由①知，D（4，5），设P（0，y）．∵A（4，0），∴AP2=16+y2，DP2=16+（y﹣5）2．∵△APD为等腰三角形，∴分三种情况讨论：

Ⅰ、AP=AD，∴16+y2=25，∴y=±3，∴P（0，3）或（0，﹣3）；

Ⅱ、AP=DP，∴16+y2=16+（y﹣5）2，∴y=，∴P（0，）；

Ⅲ、AD=DP，25=16+（y﹣5）2，∴y=2或8，∴P（0，2）或（0，8）．

综上所述：P（0，3）或（0，﹣3）或P（0，）或P（0，2）或（0，8）．

选B．①由A①知，AD=5，由折叠知，AE=AC=2，DE⊥AC于E．在Rt△ADE中，DE==；

②∵以点A，P，C为顶点的三角形与△ABC全等，∴△APC≌△ABC，或△CPA≌△ABC，∴∠APC=∠ABC=90°．∵四边形OABC是矩形，∴△ACO≌△CAB，此时，符合条件，点P和点O重合，即：P（0，0）；

如图3，过点O作ON⊥AC于N，易证，△AON∽△ACO，∴，∴，∴AN=，过点N作NH⊥OA，∴NH∥OA，∴△ANH∽△ACO，∴，∴，∴NH=，AH=，∴OH=，∴N（），而点P2与点O关于AC对称，∴P2（），同理：点B关于AC的对称点P1，同上的方法得，P1（﹣）．

综上所述：满足条件的点P的坐标为：（0，0），（），（﹣）．