Question

（知识链接）斐波那契（约 1170﹣1250，意大利数学家）数列是按某种规律排列的一列数，他发现该数列中的每个正整数都可以用无理数的形式表示，如第 n（n 为正整数）个数 a_n 可表示为.

（知识运用）计算第一个数 a₁ 和第二个数 a₂；

（探究证明）证明连续三个数之间 a_n﹣1，a_n，a_n+1 存在以下关系：a_n+1﹣a_n=a_n﹣1（n≥2）．

（探究拓展）根据上面的关系，请写出斐波那契数列中的前 8 个数．

Answer

【知识运用】a1=1； a2=1； 【探究证明】见解析；【探究拓展】斐波那契数列中的前8个数是1，1，2，3，5，8，13，21．

【解析】

[知识运用]代入计算即可求解；

[探究证明]根据乘法分配律即可证明：an+1-an=an-1（n≥2）；

[探究拓展]根据（3）的关系可求斐波那契数列中的前8个数．

[知识运用]a1= [（）﹣（）]= ×=1；

a2= [（）2﹣（）2]= ×=1；

[探究证明]

an+1﹣an= [（）n+1﹣（）n+1] ﹣ [（）n﹣（）n]

= [（）n+1﹣（）n] ﹣ [（）n+1-（）n]

= [（）n（-1）] ﹣ [（）n（-1）]

= [（）n（）] ﹣ [（）n（-）]

= [﹣]= an-1．

[探究拓展]斐波那契数列中的前8个数是1，1，2，3，5，8，13，21．