Question

如图，已知抛物线与x轴相交于A，B两点，点P是抛物线上一点，且，．

求该抛物线的表达式；

设点为抛物线上的一个动点，当点M在曲线BA之间含端点移动时，求的最大值及取得最大值时点M的坐标．

Answer

(1)抛物线解析式为；y＝x2﹣；(2)当点M在曲线BA之间(含端点)移动时，M的坐标为(，﹣)或(﹣，﹣)时，|m|+|n|的最大值为．

【解析】

（1）先求出A、B两点坐标，然后过点P作PC⊥x轴于点C，根据∠PBA＝120°，PB＝AB，分别求出BC和PC的长度即可得出点P的坐标，最后将点P的坐标代入二次函数解析式即；

（2）根据题意可知：n＜0，然后对m的值进行分类讨论，当﹣2≤m≤0时，|m|＝﹣m；当0＜m≤2时，|m|＝m，列出函数关系式即可求得|m|+|n|的最大值．

（1）如图，令y＝0代入y＝ax2﹣4a，

∴0＝ax2﹣4a，

∵a＞0，

∴x2﹣4＝0，

∴x＝±2，

∴A（﹣2，0），B（2，0），

∴AB＝4，

过点P作PC⊥x轴于点C，

∴∠PBC＝180°﹣∠PBA＝60°，

∵PB＝AB＝4，

∴cos∠PBC＝，

∴BC＝2，

由勾股定理可求得：PC＝2，

∵OC＝OB+BC＝4，

∴P（4，2），

把P（4，2）代入y＝ax2﹣4a，

∴2＝16a﹣4a，

∴a＝，

∴抛物线解析式为：y＝x2﹣；

（2）当点M在曲线BA之间（含端点）移动时，

∴﹣2≤m≤2，n＜0，

当﹣2≤m≤0时，

∴|m|+|n|＝﹣m﹣n＝﹣m2﹣m+＝﹣（m+）2+，

当m＝﹣时，

∴|m|+|n|可取得最大值，最大值为，

此时，M的坐标为（﹣，﹣），

当0＜m≤2时，

∴|m|+|n|＝m﹣n＝﹣m2+m+＝﹣（m﹣）2+，

当m＝时，

∴|m|+|n|可取得最大值，最大值为，

此时，M的坐标为（，﹣），

综上所述，当点M在曲线BA之间（含端点）移动时，M的坐标为（，﹣）或（﹣，﹣）时，|m|+|n|的最大值为．