Question

在中，，，，于点H，点D在AH上，且，连接BD．

如图1，将绕点H旋转，得到点B、D分别与点E、F对应，连接AE，当点F落在AC上时不与C重合，求AE的长；

如图2，是由绕点H逆时针旋转得到的，射线CF与AE相交于点G，连接GH，试探究线段GH与EF之间满足的等量关系，并说明理由．

Answer

(1)证明见解析;(2)(I)AE=;(II).

【解析】

（1）先根据tanC＝3，求出AH＝3，CH＝1，然后根据△EHA∽△FHC，得到，HP＝3AP，AE＝2AP，最后用勾股定理即可；

（2）先判断出△AGQ∽△CHQ，得到，然后判断出△AQC∽△GQH，用相似比即可．

(1)如图，

在Rt△AHC中，

∵tanC＝3，

∴＝3，

设CH＝x，

∴BH＝AH＝3x，

∵BC＝4，

∴3x+x＝4，

∴x＝1，

∴AH＝3，CH＝1，

由旋转知，∠EHF＝∠BHD＝∠AHC＝90°，EH＝AH＝3，CH＝DH＝FH，

∴∠EHF+∠AHF＝∠AHC+∠AHF，

∴∠EHA＝∠FHC，=1，

∴△EHA∽△FHC，

∴∠EAH＝∠C，

∴tan∠EAH＝tanC＝3，

过点H作HP⊥AE，

∴HP＝3AP，AE＝2AP，

在Rt△AHP中，AP2+HP2＝AH2，

∴AP2+(3AP)2＝9，

∴AP＝，

∴AE＝；

(2)如图1，

∵△EHF是由△BHD绕点H逆时针旋转30°得到，

∴HD＝HF，∠AHF＝30°

∴∠CHF＝90°+30°＝120°，

由(1)有，△AEH和△FHC都为等腰三角形，

∴∠GAH＝∠HCG＝30°，

∴CG⊥AE，

∴点C，H，G，A四点共圆，

∴∠CGH＝∠CAH，

设CG与AH交于点Q，

∵∠AQC＝∠GQH，

∴△AQC∽△GQH，

∴，

∵△EHF是由△BHD绕点H逆时针旋转30°得到，

∴EF＝BD，

由(1)知，BD＝AC，

∴EF＝AC

∴＝2，

即：EF＝2HG，