Question

附加题：

如图，在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB.

(1)    若∠A=40°，求∠BOC的度数。

(2)    若∠A=90°,则∠BOC=________；若∠A=120°，则∠BOC=_______.

(3)    观察（1）（2）的结果，试找出∠BOC与∠A之间的数量关系，不必证明。

(4)    利用（3）中的关系式解答：若∠BOC=157°，求∠A的度数。

Answer

（1）∠BOC＝110°；（2）135°，150°

（3）∠BOC＝90°+∠A；（4）∠A＝134°

【解析】

（1）根据∠A的度数即可得到∠ABC+∠ACB的度数，再根据角平分线的定义，即可得到∠OBC+∠OCB的度数，最后依据三角形内角和定理即可得出结论；
（2）运用（1）中的方法进行计算即可；
（3）根据（1）（2）的结果即可得出∠BOC与∠A之间的数量关系为∠BOC=90°+∠A；
（4）直接利用（3）中的关系式即可得到∠A的度数．

【解析】
（1）∵∠A＝40°，

∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣40°＝140°，

又∵BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，

∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝×140°＝70°，

∴∠BOC＝180°﹣70°＝110°；

（2）∵∠A＝90°，

∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣90°＝90°，

又∵BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，

∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝×90°＝45°，

∴∠BOC＝180°﹣45°＝135°；

∵∠A＝120°，

∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣120°＝60°，

又∵BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，

∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝×60°＝30°，

∴∠BOC＝180°﹣30°＝150°；

故答案为：135°，150°；

（3）∠BOC与∠A之间的数量关系为∠BOC＝90°+∠A；

（4）若∠BOC＝157°，则157°＝90°+∠A，

解得∠A＝134°．