Question

如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE＝CF.

(1)求证：△BOE≌△DOF；

(2)连接DE，BF，若BD⊥EF，试探究四边形EBFD的形状，并对结论给予证明.

Answer

（1）详见解析；（2）四边形EBFD为菱形.

【解析】

（1）根据平行四边形的性质可得BO=DO，AO=CO，再利用等式的性质可得EO=FO，然后再利用SAS定理判定△BOE≌△DOF即可；

（2）根据BO=DO，FO=EO可得四边形BEDF是平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得四边形EBDF为菱形．

(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴BO＝DO，AO＝CO.

∵AE＝CF，

∴AO－AE＝CO－CF，

即EO＝FO.

在△BOE和△DOF中，

∴△BOE≌△DOF(SAS).

(2)四边形EBFD为菱形，

证明：∵BO＝DO，FO＝EO，

∴四边形BEDF是平行四边形.

∵BD⊥EF，

∴四边形EBFD为菱形.