Question

如图，已知AC是矩形ABCD的对角线，AC的垂直平分线EF分别交BC、AD于点E和F，EF交AC于点O．

（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若AB=6，AD=8，求四边形AECF的周长．

Answer

(1)见解析；（2）25

【解析】

（1）根据四边相等的四边形是菱形即可判断；
（2）设AE=EC为x，利用勾股定理解答即可．

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形
∴AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
∵EF垂直平分AC，
∴AF=FC，AE=EC，
∴∠FAC=∠FCA，
∴∠FCA=∠ACB，
∵∠FCA+∠CFE=90°，∠ACB+∠CEF=90°，
∴∠CFE=∠CEF，
∴CE=CF，
∴AF=FC=CE=AE，
∴四边形AECF是菱形．
（2）设AE=EC为x，则BE=（8-x）
在Rt△ABE中，AE2=AB2+BE2，
即x2=62+（8-x）2，
解得：x=，

所以四边形AECF的周长=×4=25．