Question

如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF．

(1)  求证：AD=AF；

(2)  当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是矩形．并说明理由．

Answer

（1）见解析；（2）当AB=AC时，四边形ADCF是矩形，理由见解析

【解析】

(1) 由E是AD的中点，AF∥BC，易证得△AEF≌△DEB，即可得AF=BD，又由在△ABC中，∠BAC=90°，AD是中线，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可证得AD=BD=CD=BC，即可证得：AD=AF；

(2) 当AB=AC时，四边形ADCF是矩形．由AF=BD=DC，AF∥BC，可证得：四边形ADCF是平行四边形，又由AB=AC，根据三线合一的性质，可得AD⊥BC，AD=DC，继而可得四边形ADCF是正方形．

(1) 证明：∵AF∥BC，

∴∠EAF=∠EDB，

∵E是AD的中点，

∴AE=DE，

在△AEF和△DEB中，

，

∴△AEF≌△DEB（ASA），

∴AF=BD，

∵在△ABC中，∠BAC=90°，AD是中线，

∴AD=BD=DC=BC，

∴AD=AF．

(2) 当AB=AC时，四边形ADCF是矩形．

∵AF=BD=DC，AF∥BC，

∴四边形ADCF是平行四边形，

∵AB=AC，AD是中线，

∴AD⊥BC，

∵AD=AF，

∴四边形ADCF是正方形，是特殊的矩形.