Question

如图，在△ABC中，M，N分别是边AB、BC的中点，E、F是边AC上的三等分点，连接ME、NF且延长后交于点D，连接BE、BF

（1）求证：四边形BFDE是平行四边形；（2）当△ABC满足什么条件时四边形BFDE是菱形，证明你的结论。

Answer

(1)见解析；（2）△ABC是等腰三角形时，四边形BFDE是菱形，理由见解析

【解析】

（1）由E、F是边AC上的三等分点，CF=EF=AE，可得N是BC中点，即可得FN是△CEB的中位线，根据三角形中位线的性质，可得FN∥BE，同理可证：ED∥BF，即可判定四边形BFDE是平行四边形；

（2）根据SAS证明△ABE≌△CBF，从而得到BE＝BF，再根据菱形的判定得到结论.

（1）证明：∵E、F是AC边上的三等分点，
∴CF=EF=AE，
∵N是BC中点，
∴FN是△CEB的中位线，
∴FN∥BE，即DF∥BE，
同理可证：ED∥BF，
∴四边形BFDE是平行四边形；

（2）△ABC是等腰三角形时，四边形BFDE是菱形，理由如下：

∵△ABC等腰三角形，

∴AB＝CB,∠A=∠C,

在△ABE和△CBF中

，

∴△ABE≌△CBF，

∴BE＝BF，

又∵四边形BFDE是平行四边形，

∴四边形BFDE是菱形.