Question

已知：在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝4cm，AB＝8cm，D、E、F分别为AB、AC、BC边上的中点．若P为AB边上的一个动点，PQ∥BC，且交AC于点Q，以PQ为一边，在点A的异侧作正方形PQMN，记正方形PQMN与矩形EDBF的公共部分的面积为y．

（1）如图，当AP＝3cm时，求y的值；

（2）设AP＝xcm，试用含x的代数式表示y（cm²）；

（3）当y＝2cm²时，试确定点P的位置．

Answer

（1）重合部分的面积应该是0.75cm2；（2）当0＜x≤，y＝0；当＜x≤4，y＝，当4＜x≤，y＝x；当＜x＜8，y＝16﹣2x；（3）当x＝7cm或x＝cm时，y＝2cm2．

【解析】

（1）先根据AP的长，求出PQ的值，然后看看正方形与矩形是否重合，若重合求出重合部分的线段的长，然后根据矩形的面积计算公式进行求解即可．

（2）要分四种情况进行讨论：

①当N在D点或D点左侧时，当正方形PQMN的边MN与矩形EDBF的边ED重合时，利用相似三角形的性质可得出x＝，即0＜x≤时，此时正方形与矩形没有重合，因此y＝0；

②当N在D点右侧，而P点在D点左侧或与D点重合时，即＜x≤4，此时正方形与矩形重合的面积应该是以DN为长，NM为宽的矩形，DN＝PN﹣PD＝PN﹣（AD﹣AP）＝x﹣（4﹣x）＝x﹣4．而NM＝PQ＝x，因此重合部分的面积应该是y＝（x﹣4）×x＝x2﹣2x；

③当P在D点右侧，而N点在B点左侧或与B点重合时，即4＜x≤时，此时正方形重合部分的面积应该是以正方形边长为长，DE为宽的矩形的面积，PN＝x，DE＝2，因此此时重合部分的面积是y＝x×2＝x；

④当P在B左侧时，而N点在AB延长线上时，即＜x＜8时，此时重合部分的面积应该是以DE长为宽，PA长为长的矩形的面积．BP＝AB﹣AP＝8﹣x，BF＝DE＝2，因此此时重合部分的面积应该是y＝（8﹣x）×2＝16﹣2x．

（3）将y＝2代入（2）的式子中，看看求出的x哪个符合条件即可．

（1）∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝4cm，AB＝8cm，

∴tanA＝＝，

∵D是AB中点，

∴DE是△ABC的中位线，

∴AD＝BD＝4cm，DE＝2cm，

∴Rt△APQ中，AP＝3cm，

∴PQ＝AP•tanA＝3×＝1.5cm，

∴DN＝AN﹣AD＝AP+PN﹣AD＝3+1.5﹣4＝0.5，

∴重合部分的面积应该是y＝DN×MN＝1.5×0.5＝0.75cm2；

（2）当0＜x≤，y＝0；

当＜x≤4，y＝，

当4＜x≤，y＝x；

当＜x＜8，y＝16﹣2x；

（3）当＜x≤4时，如果y＝2，2＝，解得x＝或x＝（舍去）；

当4＜x≤时，如果y＝2，x＝2，也不符合题意，

当＜x＜8时，如果y＝2，2＝16﹣2x，解得x＝7，因此当AP＝7cm时，y＝2cm2．

∴当x＝7cm或x＝cm时，y＝2cm2．