Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x²+3x与x轴交于O、A两点，与直线y＝x交于O、B两点，点A、B的坐标分别为（3，0）、（2，2）．点P在抛物线上，且不与点O、B重合，过点P作y轴的平行线交射线OB于点Q，以PQ为边作R△PQN，点N与点B始终在PQ同侧，且PN＝1．设点P的横坐标为m（m＞0），PQ长度为d．

（1）用含m的代数式表示点P的坐标．

（2）求d与m之间的函数关系式．

（3）当△PQN是等腰直角三角形时，求m的值．

（4）直接写出△PQN的边与抛物线有两个交点时m的取值范围．

Answer

（1）P（m，﹣m2+3m）；（2）①当0＜m＜2时，d＝﹣m2+2m，②当m＞2时，d＝m2﹣2m；（3）①当0＜m＜2时，m1＝m2＝1．②当m＞2时，m1＝1+，m2＝1﹣（舍）；（4）m＝1或m＞2．

【解析】

（1）把把x＝m代入y＝﹣x2+3x即可；

（2）分类用两点纵坐标之差即可表示；

（3）由△PQN是等腰直角三角形得出PQ＝PN＝1，列方程求解即可；

（4）把点P在OB上侧和下侧分类研究即可；

（1）把x＝m代入y＝﹣x2+3x，y＝﹣m2+3m

∴P（m，﹣m2+3m）

（2）①当0＜m＜2时，

d＝﹣m2+3m﹣m＝﹣m2+2m，

②当m＞2时，

d＝m﹣（﹣m2+3m）＝m2﹣2m

（3）当△PQN是等腰直角三角形，

∴PQ＝PN＝1，

①当0＜m＜2时，

﹣m2+2m＝1，

解得m1＝m2＝1．

②当m＞2时，

m2﹣2m＝1，

解得m1＝1+，m2＝1﹣（舍）

（4）m＝1或m＞2．

当点P在OB上侧时，当△PQN是直角三角形，PN平行于x轴，所以P和N关于对称轴x＝对称，又因为PN＝1，所以m＝1；

当点P在OB下方时，因为点N与点B始终在PQ左侧，所以这时△PQN的边与抛物线始终有两个交点，所以m＞2．

所以m＝1或m＞2．