Question

如图，在平行四边形ABCD中，∠DBC=45°，DE⊥BC于E，BF⊥CD于F，DE，BF相交于H，，BF与AD的延长线相交于点G，下面给出四个结论:①； ②∠A=∠BHE； ③AB=BH； ④△BCF≌△DCE. 其中正确的结论是(　　).

A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④

Answer

A

【解析】

先判断△DBE是等腰直角三角形，根据勾股定理可推导得出BD=BE，故①正确；根据∠BHE和∠C都是∠HBE的余角，可得∠BHE=∠C，再由∠A=∠C，可得②正确；证明△BEH≌△DEC，从而可得BH=CD，再由AB=CD，可得③正确；利用已知条件不能得到④，据此即可得到选项.

∵∠DBC=45°，DE⊥BC于E，

∴在Rt△DBE中，BE2+DE2=BD2，BE=DE，

∴BD=BE，故①正确；

∵DE⊥BC，BF⊥DC，∴∠BHE和∠C都是∠HBE的余角，

∴∠BHE=∠C，

又∵在▱ABCD中，∠A=∠C，

∴∠A=∠BHE，故②正确；

在△BEH和△DEC中，

，

∴△BEH≌△DEC，

∴BH=CD，

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AB=CD，

∴AB=BH，故③正确；

利用已知条件不能得到△BCF≌△DCE，故④错误，

故选A.