Question

清朝的康熙皇帝对勾股定理也很有研究，他著有《积求勾股法》，对“三边长为3，4，5的整数倍的直角三角形，已知面积求边长”这一问题提出了解法：“若所设者为积数(面积)，以积率六除之，平方开之得数，再以勾股弦各率乘之，即得勾股弦之数”．用现代的数学语言表述是：“若直角三角形的三边长分别为3，4，5的整数倍，设其面积为S，则求其边长的方法为：第一步：＝；第二步：＝k；第三步：分别用3，4，5乘以，得三边长”．

(1)当面积S等于150时，请用康熙的“积求勾股法”求出这个直角三角形的三边长；

(2)你能证明“积求勾股法”的正确性吗？请写出证明过程．

Answer

（1）15,20,25；（2）详见解析.

【解析】

试题分析: 先由题中所给的条件找出字母所代表的关系，然后套用公式解题．

试题解析:

(1)当s＝150时，m＝＝25，k＝＝5．

∴3×5＝15，4×5＝20，5×5＝25，

∴直角三角形的三边长分别为15，20，25。

(2)正确，设直角三角形的三边长分别为3k，4k，5k，

∴s＝×3k×4k＝6k²，

∴k＝，

∴三边长分别为3，4，5.