Question

已知，内接于，点是弧的中点，连接、；

（1）如图1，若，求证：；

（2）如图2，若平分，求证：；

（3）在（2）的条件下，若，，求的值．

Answer

(1)见解析;(2)见解析;(3)2.

【解析】

(1)由点P是弧AB的中点，可得出AP=BP, 通过证明 ,可得出进而证明AB PC.

(2)由PA是∠CPM的角平分线，得到∠MPA=∠APC, 等量代换得到∠ABC=∠ACB, 根据等腰三角形的判定定理即可证得AB=AC.

(3)过A点作AD⊥BC,有三线合一可知AD平分BC,点O在AD上，连结OB，则∠BOD＝∠BAC，根据圆周角定理可知∠BOD=∠BAC, ∠BPC=∠BAC，由∠BOD=∠BPC可得 ,设OB= ，根据勾股定理可算出OB、BD、OD、AD的长，再次利用勾股定理即可求得AP的值.

【解析】
（1）∵点P是弧AB的中点，如图1，

∴AP＝BP，

在△APC和△BPC中

，

∴△APC≌△BPC（SSS），

∴∠ACP＝∠BCP，

在△ACE和△BCE中

，

∴△ACE≌△BCE（SAS），

∴∠AEC＝∠BEC，

∵∠AEC+∠BEC＝180°，

∴∠AEC＝90°，

∴AB⊥PC；

（2）∵PA平分∠CPM，

∴∠MPA＝∠APC，

∵∠APC+∠BPC+∠ACB＝180°，∠MPA+∠APC+∠BPC＝180°，

∴∠ACB＝∠MPA＝∠APC，

∵∠APC＝∠ABC，

∴∠ABC＝∠ACB，

∴AB＝AC；

（3）过A点作AD⊥BC交BC于D，连结OP交AB于E，如图2，

由（2）得出AB＝AC，

∴AD平分BC，

∴点O在AD上，

连结OB，则∠BOD＝∠BAC，

∵∠BPC＝∠BAC，

∴=，

设OB＝25x，则BD＝24x，

∴OD＝＝7x，

在中，AD＝25x+7x＝32x，BD＝24x，

∴AB＝＝40x，

∵AC＝8，

∴AB＝40x＝8，

解得：x＝0.2，

∴OB＝5，BD＝4.8，OD＝1.4，AD＝6.4，

∵点P是的中点，

∴OP垂直平分AB，

∴AE＝AB＝4，∠AEP＝∠AEO＝90°，

在中，OE＝，

∴PE＝OP﹣OE＝5﹣3＝2，

在中，AP＝．