Question

如图1，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，

（1）求直线的函数解析式；

（2）如图2，点在线段（不包括，两点）上，连接与轴交于点，连接．、的垂直平分线交于点，连接并延长到点，使，作轴于，连结．求证：；

（3）在（2）的条件下，当的边时，求点的坐标．

Answer

（1）；（2）见解析；（3）点的坐标为．

【解析】

（1）设直线的函数解析式为，把代入即可；

（2）作辅助线，如图2，根据作圆，证明也在圆上，证出，得出，再根据，即可得出，连接，根据，，，，得出，再证出，最后根据，得出是等腰直角三角形，从而求出结论；

（3）如图3，过点作于点，则，再证出，得比例式，得出，，再根据，得出四边形是矩形，，，根据，求出的长，从而得出直线的解析式，最后根据方程的解可得的坐标．

【解析】
（1）点的坐标为，

设直线的函数解析式为，

代入得：，

解得：，

则直线的函数解析式为；

（2）如图2，连接，，

、的垂直平分线交于点，

，

以为圆心，以为半径作，是直径，

轴，

，

在上，

由已知得：，，

又，

，

，

，

，

连接

是的一个外角，

，

是的一个外角，

，

，，

，

，，

，

，

，

，

是等腰直角三角形，

；

（3）如图3，过点作于点，

，，

，

又，

，

，

，，

，

四边形是矩形，

，

，

，

，

解得：，

点的坐标为，

直线的解析式为，

由直线的函数解析式为；

得

解得：，

则点的坐标为．