Question

如图1，有一块直角三角板，其中，，，A、B在x轴上，点A的坐标为，圆M的半径为，圆心M的坐标为，圆M以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右做平移运动，运动时间为t秒；

求点C的坐标；

当点M在的内部且与直线BC相切时，求t的值；

如图2，点E、F分别是BC、AC的中点，连接EM、FM，在运动过程中，是否存在某一时刻，使？若存在，直接写出t的值，若不存在，请说明理由．

Answer

（1）；（2）t=18s；（3）．

【解析】

（1）如图1中，作CH⊥AB于H．解直角三角形求出CH，OH即可．

（2）如图1﹣1中，设⊙M与直线BC相切于点N，作MH⊥AB于H．求出OH的长即可解决问题．

（3）设M（﹣5+t，3），EFAB=8，由∠EMF=90°，可得EM2+MF2=EF2，由此构建方程即可解决问题．

（1）如图1中，作CH⊥AB于H．

∵A（20，0），AB=16，∴OA=20，OB=4．在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AB=16，∠CAB=30°，∴BCAB=8，CH=BC•sin60°=4，BH=BC•cos60°=4，∴OH=8，∴C（8，4）．

（2）如图1﹣1中，设⊙M与直线BC相切于点N，作MH⊥AB于H．

∵MN=MH=3，MN⊥BC，MH⊥BA，∴∠MBH=∠MBN=30°，∴BHMH=9，∴点M的运动路径的长为5+4+9=18，∴当点M在∠ABC的内部且⊙M与直线BC相切时，t的值为18s．

（3）∵C（8，4），B（4，0），A（20，0）．

∵CE=EB，CF=FA，∴E（6，2），F（14，2），设M（﹣5+t，3），EFAB=8．

∵∠EMF=90°，∴EM2+MF2=EF2，∴（6+5﹣t）2+（）2+（14+5﹣t）2+（）2=82，整理得：t2﹣30t+212=0，解得：t=15±．