Question

如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，对角线AC平分角∠BAD，点P是△ABC内一点，连接PA、PB、PC，若PA＝6，PB＝8，PC＝10，则菱形ABCD的面积等于______．

Answer

50+72

【解析】

将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AM，连接PM，想办法证明∠APH＝30°，利用勾股定理求出AB的平方即可解决问题．

将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AM，连接PM，作AH⊥BP于H．

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB＝BC，

∵∠ABC＝60°，

∴△ABC是等边三角形，

∵AM＝AP，∠MAP＝60°，

∴△AMP是等边三角形，

∵∠MAP＝∠BAC，

∴∠MAB＝∠PAC，

∴△MAB≌△PAC，

∴BM＝PC＝10，

∵PM2＋PB2＝100，BM2＝100，

∴PM2＋PB2＝BM2，

∴∠MPB＝90°，

∵∠APM＝60°，

∴∠APB＝150°，∠APH＝30°，

∴AH＝PA＝3，PH＝，BH＝8＋，

∴AB2＝AH2＋BH2＝100＋48，

∴菱形ABCD的面积＝2•△ABC的面积＝2××AB2＝50＋72，

故答案为：50＋72．