Question

如图所示，已知抛物线y＝ax²（a≠0）与一次函数y＝kx+b的图象相交于A（﹣1，﹣1），B（2，﹣4）两点，点P是抛物线上不与A，B重合的一个动点，点Q是y轴上的一个动点．

（1）请直接写出a，k，b的值及关于x的不等式ax²＜kx﹣2的解集；

（2）当点P在直线AB上方时，请求出△PAB面积的最大值并求出此时点P的坐标；

（3）是否存在以P，Q，A，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出P，Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）a＝﹣1，k＝﹣1，b＝﹣2，x＜﹣1或x＞2；（2）△PAB面积的最大值为，此时点P的坐标为（，）；（3）P的坐标为（﹣3，﹣9）或（3，﹣9）或（1，﹣1），Q的坐标为：Q（0，﹣12）或（0，﹣6）或（0，﹣4）．

【解析】

（1）利用待定系数法即可求得a，k，b的值，根据图象即可得出不等式的解集；（2）过点A作y轴的平行线，过点B作x轴的平行线，两者交于点C，连接PC．设点P的横坐标为m，则点P的纵坐标为﹣m2．过点P作PD⊥AC于D，作PE⊥BC于E．则D（﹣1，﹣m2），E（m，﹣4），由此可得PD＝m+1，PE＝﹣m2+4．再根据S△APB＝S△APC+S△BPC﹣S△ABC，代入数据即可得S△APB与m的二次函数关系式，利用二次函数求最值的方法求得m的值及S△APB 的值最大．再求得点P的坐标即可；（3）（3）根据平行四边形的性质和坐标特点解答即可．

【解析】
（1）把A（﹣1，﹣1），代入y＝ax2中，可得：a＝﹣1，

把A（﹣1，﹣1），B（2，﹣4）代入y＝kx+b中，可得：，

解得：，

所以a＝﹣1，k＝﹣1，b＝﹣2，

关于x的不等式ax2＜kx﹣2的解集是x＜﹣1或x＞2，

（2）过点A作y轴的平行线，过点B作x轴的平行线，两者交于点C．

∵A（﹣1，﹣1），B（2，﹣4），

∴C（﹣1，﹣4），AC＝BC＝3，

设点P的横坐标为m，则点P的纵坐标为﹣m2．

过点P作PD⊥AC于D，作PE⊥BC于E．则D（﹣1，﹣m2），E（m，﹣4），

∴PD＝m+1，PE＝﹣m2+4．

∴S△APB＝S△APC+S△BPC﹣S△ABC

＝

＝

＝．

∵＜0，，﹣1＜m＜2，

∴当时，S△APB 的值最大．

∴当时，，S△APB＝，

即△PAB面积的最大值为，此时点P的坐标为（，）

（3）存在三组符合条件的点，

当以P，Q，A，B为顶点的四边形是平行四边形时，

∵AP＝BQ，AQ＝BP，A（﹣1，﹣1），B（2，﹣4），

可得坐标如下：

①P′的横坐标为﹣3，代入二次函数表达式，

解得：P'（﹣3，﹣9），Q'（0，﹣12）；

②P″的横坐标为3，代入二次函数表达式，

解得：P″（3，﹣9），Q″（0，﹣6）；

③P的横坐标为1，代入二次函数表达式，

解得：P（1，﹣1），Q（0，﹣4）．

故：P的坐标为（﹣3，﹣9）或（3，﹣9）或（1，﹣1），

Q的坐标为：Q（0，﹣12）或（0，﹣6）或（0，﹣4）．