Question

（背景知识）研究平面直角坐标系，我们可以发现一条重要的规律：若平面直角坐标系上有两个不同的点、，则线段AB的中点坐标可以表示为

（简单应用）如图1，直线AB与y轴交于点，与x轴交于点，过原点O的直线L将分成面积相等的两部分，请求出直线L的解析式；

（探究升级）小明发现“若四边形一条对角线平分四边形的面积，则这条对角线必经过另一条对角线的中点”

如图2，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，试说明；

（综合运用）如图3，在平面直角坐标系中，，，若OC恰好平分四边形OACB的面积，求点C的坐标．

Answer

[简单应用][探究升级][综合运用]

【解析】

简单应用:先判断出直线L过线段AB的中点，再求出线段AB的中点，最后用待定系数法即可得出结论；

探究升级:先判断出，进而判断出≌，即可得出结论；

综合运用:借助“探究升级”的结论判断出直线OC过线段AB的中点，进而求出直线OC的解析式，最后将点C坐标代入即可得出结论．

【解析】
简单应用：

直线L将分成面积相等的两部分，

直线L必过相等AB的中点，

设线段AB的中点为E，

，，

，

，

直线L过原点，

设直线L的解析式为，

，

，

直线L的解析式为；

探究升级：

如图2，

过点A作于F，过点C作于G，

，，

，

，

，

在和中，

，

≌，

；

综合运用：如图3，

由探究升级知，若四边形一条对角线平分四边形的面积，则这条对角线必经过另一条对角线的中点，

恰好平分四边形OACB的面积，

过四边形OACB的对角线OA的中点，

连接AB，设线段AB的中点为H，

，，

，设直线OC的解析式为,，

,

,

直线OC的解析式为，

点在直线OC上，

，

，