Question

在△ABC中，AB=AC，BC=2,将△ABC绕点C顺针方向旋转α（0°＜α＜360°），得到△DEC，使点E在AB边上。

（1）如图1，连接AD，

①求证：四边形ABCD是平行四边形；

② 当AE=AD时，求旋转角α的度数；

（2）如图2，若AE=2BE,求AB的长。   

Answer

（1）①详见解析；②旋转角α的度数为36°；（2）AB=2.

【解析】

（1）①先根据旋转得：AB=CD，再由等腰三角形的性质和三角形内角和定理及外角的性质得：∠BAC=∠ACD，则AB∥CD，可得四边形ABCD是平行四边形；
②如图，在△ADE中，设∠3=x°，用x分别表示△ADE三个内角的度数，根据三角形的内角和列方程可得x的值，即可得旋转角α的度数；
（2）设BE=y,则AE=2y.AB=3y，证明△BCE∽△BAC，可得结论．

【解析】
（1）①△ABC绕点C顺时针方向旋转得到△DEC

∴∠BCE=∠ACD BC=CE CD=CA

∴∠B=∠BEC

∵AB=AC ∴∠B=∠ACB ∴∠ACB=∠BEC

∴∠BCE=∠BAC

∵∠BCE=∠ACD

∴∠BAC=∠ACD

∴AB∥CD

∵CD=AC=AB

∴四边形ABCD是平行四边形 ；

②如图 ∵AE=AD ∴∠1=∠2

由旋转可得 ∠3=∠4

∵四边形ABCD是平行四边形

∴AD∥BC AB∥CD

∴∠DAC=∠ACB=∠B ∠1=∠4

在△ADE中，设∠3=x° 则∠4=x°，∠1=∠2=x°，∠B=90°-

∵∠1+∠EAD+∠2=180°

∴x+(x+90-)+x=180

∴x=36 ∴∠3=36°

∴旋转角α的度数为36° ；

（2）∵∠B=∠B，∠BCE=∠3

∴△BCE∽△BAC ∴

设BE=y,则AE=2y，AB=3y

∴ 解得 y=

∴AB=.

故答案为：（1）①详见解析；②旋转角α的度数为36°；（2）AB=2.