Question

已知二次函数的图象( 记为抛物线) 顶点为M,直线:y=2x-a与x轴，y轴分别交于点A,B.

(1)若抛物线与x轴只有一个公共点，求a的值；

（2）当a＞0时，设△ABM的面积为S，求S与a的函数关系式；

（3）将二次函数的图象绕点P（t,-2）旋转180°得到二次函数的图象记为抛物线,顶点为N。

①若点N恰好落在直线上，求a 与t 满足的关系；

②当－2≤x≤1时，旋转前后的两个二次函数y的值都会随x的值得增大而减小，求t 的取值范围.

Answer

（1）a=-2；（2）S=a；（3）①a=2t；②t≤.

【解析】

（1）抛物线与x轴只有一个交点，即只有顶点M在x轴上，故M的纵坐标为0；
（2）设直线与二次函数的图象的对称轴x=1交于点C,则C（1,2-a），根据S=即可得S与a的函数关系式；
（3）①根据题意，点M绕点P（t，-2）旋转180°得到点N，所以MP=NP，即P为MN中点，根据中点坐标公式可得点N的坐标（2t-1，a-2），代入直线:y=2x-a即可求a与t的关系式；
②旋转前的抛物线对称轴为直线x=1，要满足在-2≤x≤1时y随x的增大而减小，即在对称轴左侧抛物线下降，故开口向上；则旋转后的抛物线开口向下，对称轴必须在x=-2的左侧，即求出t的范围．

【解析】
（1）

抛物线的顶点M的坐标为（1，-a-2）．

∵二次函数的图象与x轴只有一个公共点

∴顶点M在x轴上

∴-a-2=0，

∴a=-2 ；

（2）∵y=2x-a与x、y轴分别交于A、B两点

∴A（，0），B（0，）

设直线与二次函数的图象的对称轴x=1交于点C,则C（1,2-a），CM=(2-a)-（-a-2）=4

∴S= ；

（3）①根据题意得，抛物线的顶点N与抛物线的顶点M关于P（t，-2）成中心对称，

∴顶点N坐标为（2t-1，a-2）

∵点N恰好落在直线上

∴a-2=2(2t-1)-a

∴a=2t ；

②∵旋转前抛物线对称轴为直线x=1
∴当a＞0抛物线开口向上时，当－2≤x≤1时,抛物线的y的值随x的值增大而减小

∴旋转后抛物线开口向下，且顶点N（2t-1，a-2）
∵要满足在-2≤x＜1的范围内y随x增大而减小，即抛物线下降
∴对称轴直线x=2t-1需在x=-2左侧
∴2t-1≤-2
解得：t≤−

∴当t≤−时抛物线的y的值随x的值增大而减小.

故答案为：（1）a=-2；（2）S=a；（3）①a=2t；②t≤.