如图1，已知：△ABD∽△ACE，∠ABD=∠ACE=90°，连接DE，O是DE...

如图1，已知：△ABD∽△ACE，∠ABD=∠ACE=90°，连接DE，O是DE的中点。

（1）连接OC,OB 求证：OB=OC；

（2）将△ACE绕顶点A逆时针旋转到图2的位置，过点E作EM∥AD交射线AB于点M，交射线AC于点N,连接DM,BC. 若DE的中点O恰好在AB上。

①求证：△ADM∽△AEN

②求证：BC∥AD

③若AC=BD=3,AB=4,△ACE绕顶点A旋转的过程中，是否存在四边形ADME矩形的情况？如果存在，直接写出此时BC的值，若不存在说明理由。

（1）详见解析；（2）①详见解析；②详见解析；③存在四边形ADME为矩形，此时BC= 【解析】（1）延长CO交BD于点F，可证△CEO≌△FDO，则OC=OF，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解；（2）①根据平行的性质得∠DAM=∠EMA，可证△AOD≌△MOE，则AD=EM，根据平行四边形的判定定理可判断ADME是平行四边形，由平行四边形的性质可得∠ADM=∠AEN，由△ABD∽△ACE可得∠BAD=∠CAE，即可证△ADM∽△AEN； ②根据相似三角形对应边成比例可得，由比例的性质得，因为∠MAN=∠BAC，根据相似三角形的判定定理可证出△AMN∽△ABC，则∠AMN=∠ABC，根据同位角相等，两直线平行可得MN∥BC，根据平行于同一条直线的两直线平行可得BC∥AD； ③存在四边形ADME为矩形，此时BC=，如图，延长BC交AE于F，求出BF= ，CF= ，即可求得BC的值. 【解析】（1）延长CO交BD于点F ∵∠ABD=∠ACE=90° ∴CE∥BD ∴∠CEO=∠FDO ∵O是DE的中点 ∴OE=OD ∵∠COE=∠DOF ∴△CEO≌△FDO ∴OC=OF ∵∠CBF=90° ∴BO=CF=OC ； (2)①∵O是DE的中点 ∴OE=OD ∵EM∥AD ∴∠DAM=∠EMA ∵∠AOD=∠MOE ∴△AOD≌△MOE ∴AD=EM ∵EM∥AD ∴四边形ADME是平行四边形 ∴∠ADM=∠AEN ∵△ABD∽△ACE ∴∠BAD=∠CAE ∴△ADM∽△AEN ； ②∵△ADM∽△AEN ∴ ∵△ABD∽△ACE ∴ ∴ ∴ ∵∠MAN=∠BAC ∴△AMN∽△ABC ∴∠AMN=∠ABC ∴MN∥BC ∵MN∥AD ∴BC∥AD ； ③ 如图，存在四边形ADME为矩形，此时BC= . 故答案为：（1）详见解析；（2）①详见解析；②详见解析；③存在四边形ADME为矩形，此时BC= .

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考点分析：

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