Question

如图，现将平行四边形ABCD沿其对角线AC折叠，使点B落在点B′处．AB′与CD交于点E．

（1）求证：△AED≌△CEB′；

（2）过点E作EF⊥AC交AB于点F，连接CF，判断四边形AECF的形状并给予证明．

Answer

（1）见解析（2）见解析

【解析】

（1）由题意可得AD=BC=B'C，∠B=∠D=∠B'，且∠AED=∠CEB'，利用AAS证明全等，则结论可得；
（2）由△AED≌△CEB′可得AE=CE，且EF⊥AC，根据等腰三角形的性质可得EF垂直平分AC，∠AEF=∠CEF．即AF=CF，∠CEF=∠AFE=∠AEF，可得AE=AF，则可证四边形AECF是菱形．

证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形

∴AD＝BC，CD∥AB，∠B＝∠D

∵平行四边形ABCD沿其对角线AC折叠

∴BC＝B'C，∠B＝∠B'

∴∠D＝∠B'，AD＝B'C且∠DEA＝∠B'EC

∴△ADE≌△B'EC

（2）四边形AECF是菱形

∵△ADE≌△B'EC

∴AE＝CE

∵AE＝CE，EF⊥AC

∴EF垂直平分AC，∠AEF＝∠CEF

∴AF＝CF

∵CD∥AB

∴∠CEF＝∠EFA且∠AEF＝∠CEF

∴∠AEF＝∠EFA

∴AF＝AE

∴AF＝AE＝CE＝CF

∴四边形AECF是菱形