Question

已知Rt△ABC，∠BAC＝90°，点D是BC中点，AD＝AC，BC＝4，过A，D两点作⊙O，交AB于点E，

（1）求弦AD的长；

（2）如图1，当圆心O在AB上且点M是⊙O上一动点，连接DM交AB于点N，求当ON等于多少时，三点D、E、M组成的三角形是等腰三角形？

（3）如图2，当圆心O不在AB上且动圆⊙O与DB相交于点Q时，过D作DH⊥AB（垂足为H）并交⊙O于点P，问：当⊙O变动时DP﹣DQ的值变不变？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．

Answer

（1）

（2）当ON等于1或﹣1时，三点D、E、M组成的三角形是等腰三角形

（3）不变，理由见解析

【解析】

（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到AD的长；
（2）连DE、ME，易得当ED和EM为等腰三角形EDM的两腰，根据垂径定理得推论得OE⊥DM，易得到△ADC为等边三角形，得∠CAD=60°，则∠DAO=30°，∠DON=60°，然后根据含30°的直角三角形三边的关系得DN=AD=，ON=DN=1；
当MD=ME，DE为底边，作DH⊥AE，由于AD=2，∠DAE=30°，得到DH=，∠DEA=60°，DE=2，于是OE=DE=2，OH=1，
又∠M=∠DAE=30°，MD=ME，得到∠MDE=75°，则∠ADM=90°-75°=15°，可得到∠DNO=45°，根据等腰直角三角形的性质得到NH=DH=，则ON=-1；
（3）连AP、AQ，DP⊥AB，得AC∥DP，则∠PDB=∠C=60°，再根据圆周角定理得∠PAQ=∠PDB，∠AQC=∠P，则∠PAQ=60°，∠CAQ=∠PAD，易证得△AQC≌△APD，得到
DP=CQ，则DP-DQ=CQ-DQ=CD，而△ADC为等边三角形，CD=AD=2，即可得到DP-DQ的值．

【解析】
（1）∵∠BAC＝90°，点D是BC中点，BC＝4，

∴AD＝BC＝；

（2）连DE、ME，如图，∵DM＞DE，

当ED和EM为等腰三角形EDM的两腰，

∴OE⊥DM，

又∵AD＝AC，

∴△ADC为等边三角形，

∴∠CAD＝60°，

∴∠DAO＝30°，

∴∠DON＝60°，

在Rt△ADN中，DN＝AD＝，

在Rt△ODN中，ON＝DN＝1，

∴当ON等于1时，三点D、E、M组成的三角形是等腰三角形；

当MD＝ME，DE为底边，如图3，作DH⊥AE，

∵AD＝2，∠DAE＝30°，

∴DH＝，∠DEA＝60°，DE＝2，

∴△ODE为等边三角形，

∴OE＝DE＝2，OH＝1，

∵∠M＝∠DAE＝30°，

而MD＝ME，

∴∠MDE＝75°，

∴∠ADM＝90°﹣75°＝15°，

∴∠DNO＝45°，

∴△NDH为等腰直角三角形，

∴NH＝DH＝，

∴ON＝﹣1；

综上所述，当ON等于1或﹣1时，三点D、E、M组成的三角形是等腰三角形；

（3）当⊙O变动时DP﹣DQ的值不变，DP﹣DQ＝2．理由如下：

连AP、AQ，如图2，

∵∠C＝∠CAD＝60°，

而DP⊥AB，

∴AC∥DP，

∴∠PDB＝∠C＝60°，

又∵∠PAQ＝∠PDB，

∴∠PAQ＝60°，

∴∠CAQ＝∠PAD，

∵AC＝AD，∠AQC＝∠P，

∴△AQC≌△APD，

∴DP＝CQ，

∴DP﹣DQ＝CQ﹣DQ＝CD＝2．