Question

如图，平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，且点C的坐标是（0，1），点B的坐标是（，1），抛物线y＝﹣x²+bx+c经过点B和点C．

（1）求抛物线y＝﹣x²+bx+c的表达式：

（2）将△OAC沿直线AC折叠，点O的对称点记为点D，请判断：点D是否在抛物线上？并说明理由；

（3）点E为线段AC上的一个动点．

①若点P在抛物线上，其横坐标为m，当PE⊥AC且PE＝时．请直接写出m的值；

②若点F为线段AB上一个动点，且CE＝AF，当OE+OF的值最小时，请直接写出点F的坐标．

Answer

（1）y＝﹣x2+x+l；（2）不在；（3）①m＝2±2或；②

【解析】

（1）将点B、C坐标代入二次函数表达式，即可求解；

（2）不在，理由：利用△CDG∽△DHA，求得点D的坐标是（，），即可求解；

（3）①设点P的坐标为（m，﹣m2+m+1），点E（n，﹣n+1），利用EH＝|﹣n+1+m2﹣m﹣1|＝1，PH＝|m﹣n|＝，即可求解；

②将矩形ABCO围绕点C逆时针旋转60°至矩形O′A′B′C，则图示位置为图象旋转后的位置，当B′、E、O三点共线时，OE+OF＝OB′最小，即可求解．

【解析】
（1）将点B坐标代入二次函数表达式得：1＝﹣3+b+1，解得：b＝，

故二次函数表达式为：y＝﹣x2+x+l；

（2）不在，理由：

过点D作x轴的平行线分别交AB的延长线和y轴于点G、H，

∴∠CDA＝90°，∠GDC+HDA∠＝90°，∠HDA+∠DAH＝90°，

∴∠DAH＝∠GDC，

∴△CDG∽△DHA，

∴，

解得：DG＝，HA＝，故：点D的坐标是（，），

将代入抛物线表达式，则y＝≠所以点D不在抛物线上；

（3）①∵PE⊥AC，∴∠PEH+∠HEA＝90°，∠HEA+∠EAO＝90°，

∴∠PEH＝∠CAO＝α，

点B的坐标是（，1），tan∠ABC＝＝tanα，即：∠ABC＝30°＝α，

PH＝PEsinα＝，EH＝1，

把点AC的表达式为：y＝kx+1，把点A坐标代入并求解得：

直线AC的表达式为：y＝﹣x+1，

设点P的坐标为（m，﹣m2+m+1），点E（n，﹣n+1），

EH＝|﹣n+1+m2﹣m﹣1|＝1…①，

PH＝|m﹣n|＝…②，

联立①②并解得：m＝2±2或；

②∵∠ABC＝30°，∴△O′OC为等边三角形，

将矩形ABCO围绕点C逆时针旋转60°至矩形O′A′B′C，则图示位置为图象旋转后的位置，

连接O′F′、B′E、OE，∵CE＝AF＝A′F′，

∴四边形O′F′B′E为平行四边形，

∴OE+OF＝OE+B′E，故：当B′、E、O三点共线时，OE+OF＝OB′最小，

旋转后点B′O′与x轴垂直，则yB′＝AB+A′C＝+＝，同理xB′＝，

即点B′（，），

则直线OB′的表达式为：y＝x，

同理可得直线AC的表达式为：y＝﹣x+1，

以上两式联立并求解得：x＝，y＝，

即点E（，），

同理可得点．