Question

如图，已知，点A，P分别是射线OM，ON上两定点，且，，动点B从点O向点P运动，以AB为斜边向右侧作等腰直角，设线段OB的长x，点C到射线ON的距离为y．

若，直接写出点C到射线ON的距离；

求y关于x的函数表达式，并在图中画出函数图象；

当动点B从点O运动到点P，求点C运动经过的路径长．

Answer

（1）2；（2）；（3）．

【解析】

（1）OB=2时，四边形OACB是正方形，由此即可解决问题．

（2）如图，作CE⊥OA于E，CF⊥ON于F．由△CEA≌△CFB，推出AE=CF，CE=CF，由∠CEO=∠CFO=∠EOF=90°，推出四边形OECF是矩形，由CE=CF，推出四边形OECF是正方形，根据AE=y-2，FB=x-y，可得y-2=x-y，即y=x+1（0≤x≤6），画出图象即可．

（3）如图，由CE=CF，推出OC平分∠MON，推出点C的运动轨迹是线段OC，因为x=6，y=4，可得OC=4.

【解析】
（1）如图所示，若，

则，且，

∴点到射线的距离为；

（2）作于，于，

∵，

∴，

又∵，，

∴≌，

∴，，

∵，

∴四边形是矩形，

又∵，

∴四边形是正方形，

∴，

∵，，

∴

∴；

函数图象如图所示：

（3）连结．

∵，

∴平分，

∴点的运动轨迹是线段．

∵，

，

∴，

∴点运动过的路径长为．