Question

如图，在一张矩形纸片中，，，点，分别在， 上，将纸片沿直线折叠，点落在上的一点处，点落在点处，有以下四个结论：

①四边形是菱形；②平分；③线段的取值范围为；④当点与点重合时，．

以上结论中，你认为正确的有（　　）个．

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Answer

C

【解析】

①先判断出四边形CFHE是平行四边形，再根据翻折的性质可得CF=FH，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出①正确；

②根据菱形的对角线平分一组对角线可得∠BCH=∠ECH，然后求出只有∠DCE=30°时EC平分∠DCH，判断出②错误；

③点H与点A重合时，设BF=x，表示出AF=FC=8-x，利用勾股定理列出方程求解得到BF的最小值，点G与点D重合时，CF=CD，求出最大值BF=4，然后写出BF的取值范围，判断出③正确；

④过点F作FM⊥AD于M，求出ME，再利用勾股定理列式求解得到EF，判断出④正确．

【解析】

①∵FH与CG，EH与CF都是矩形ABCD的对边AD、BC的一部分，

∴FH∥CG，EH∥CF，

∴四边形CFHE是平行四边形，

由翻折的性质得，CF=FH，

∴四边形CFHE是菱形，（故①正确）；

②∴∠BCH=∠ECH，

∴只有∠DCE=30°时EC平分∠DCH，（故②错误）；

③点H与点A重合时，此时BF最小，设BF=x，则AF=FC=8-x，

在Rt△ABF中，AB2+BF2=AF2，

即42+x2=（8-x）2，

解得x=3，

点G与点D重合时，此时BF最大，CF=CD=4，

∴BF=4，

∴线段BF的取值范围为3≤BF≤4，（故③正确）；

过点F作FM⊥AD于M，

则ME=（8-3）-3=2，

由勾股定理得，

EF===，（故④正确）；

综上所述，结论正确的有①③④共3个，

故选C．