Question

如图，在正方形纸片中，对角线、交于点，折叠正方形纸片，使落在上，点恰好与上的点重合．展开后，折痕分别交、于点、．连接．下列结论：①；②；③；④四边形是菱形；⑤．

其中正确结论的序号是（　   　）

A. ①②③④⑤ B. ①②③④ C. ①③④⑤ D. ①④⑤

Answer

D

【解析】

①根据折叠的性质我们能得出∠ADG=∠ODG，也就求出了∠ADG的度数，那么在三角形AGD中用三角形的内角和即可求出∠AGD的度数；

②根据AE=EF＜BE即AE＜AB，∴tan∠AED=＞2，

③根据△AGD与△OGD同高不等底，即可判断；

④根据同位角相等得到EF∥AC，GF∥AB，由折叠的性质得出AE=EF，即可判定四边形AEFG是菱形；

⑤通过相似三角形DEF和DOG得出EF和OG的比例关系，然后再在BEF中求出BE和EF的关系，进而求出BE和OG的关系．

【解析】
因为在正方形纸片ABCD中，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，所以∠GAD=45°，∠ADG=∠ADO=22.5°，

所以∠AGD=112.5°，所以①正确．

因为tan∠AED=，因为AE=EF＜BE，

所以AE＜AB，所以tan∠AED=＞2，因此②错．

因为AG=FG＞OG，△AGD与△OGD同高，

所以S△AGD＞S△OGD，所以③错．

根据题意可得：AE=EF，AG=FG，又因为EF∥AC，

所以∠FEG=∠AGE，又因为∠AEG=∠FEG，

所以∠AEG=∠AGE，所以AE=AG=EF=FG，

所以四边形AEFG是菱形，因此④正确．

由折叠的性质设BF=EF=AE=1，则AB=1+，BD=2+，DF=1+，由此可求=，

∵∠DFE=∠BAD=∠AOD=90°（折叠的性质），

∵四边形AEFG是菱形，

∴EF∥AG∥AC，

∴△DOG∽△DFE，

∴= =

EF=2OG，

在直角三角形BEF中，∠EBF=45°，

所以△BEF是等腰直角三角形，同理可证△OFG是等腰直角三角形，

在等腰直角三角形BEF和等腰直角三角形OFG中，BE2=2EF2=2GF2=2×2OG2，

所以BE=2OG．因此⑤正确．