Question

如图，D为⊙O上一点，点C在直线BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）若BC=8cm，tan∠CDA=，求⊙O的半径；

（3）在（2）条件下，过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，连接OE，求四边形OEDA的面积．

Answer

（1）证明见解析（2）3（3）12.6

【解析】

试题（1）要证明CD是⊙O的切线，只需要连接OD，证明∠ODC=90°即可，由∠CDA=∠CBD，∠BDA=90°，OA=OD得到∠ODA=∠OAD，然后进行转化即可得到∠ODC=90°，本题得以解决；

（2）根据题意可以得到△CDA和△CBD相似，然后根据BC=8cm，tan∠CDA=，∠CDA=∠CBD，可以求得CD、CA的长，从而可以求得BA的长，进而可以得到⊙O的半径；

（3）由题意可得，∠EBC=90°，可以证明△EBC和△ODC相似，从而可以求得EB的长，然后根据四边形OEDA的面积等于△EBC的面积减去△EBO的面积再减去△DAC的面积，从而可以得到四边形OEDA的面积，本题得以解决．

试题解析：（1）连接OD，如右图所示，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠BDA=90°，

又∵OD=OA，∠CDA=∠CBD，

∴∠ODA=∠OAD，

∴∠CBD+∠OAD=180°﹣∠BDA=90°，

∴∠ODA+∠CDA=∠OAD+∠CDA=90°，

∴∠ODC=90°，

即CD是⊙O的切线；

（2）∵∠DCA=∠BCD，∠CDA=∠CBD，

∴△CDA∽△CBD，

∴，

又∵BC=8cm，tan∠CDA=，∠CDA=∠CBD，∠BDA=90°，

∴tan∠CBD==，

∴=，

∴=，

解得，CD=4，CA=2，

∴BA=CB﹣CA=8﹣2=6，

∴OB=3，

即⊙O的半径是3cm；

（3）作DF⊥BC于点F，如右上图所示

由已知可得，∠ODC=∠EBC=90°，∠DCO=∠BCE，

∴△DCO∽△BCE，

∴，

∵OD=3，CD=4，CB=8，

∴EB=6，

又∵CO=CB﹣OB=8﹣3=5，OD=3，CD=4，∠ODC=90°，DF⊥OC，

∴，

解得DF=2.4，

∴===12.6cm²，

即四边形OEDA的面积是12.6cm2．