Question

如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（4，0），并且OA=OC=4OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上．

（1）求抛物线的解析式；

（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；

（3）过动点P作PE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线．垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．

Answer

（1）B（－1,0）；C（0,4）；；（2）P（2,6）；（3）点或

【解析】

试题（1）根据A的坐标，即可求得OA的长，则B、C的坐标即可求得，然后利用待定系数法即可求得函数的解析式；

（2）分点A为直角顶点时，和C的直角顶点两种情况讨论，根据OA=OC，即可列方程求解；

（3）据垂线段最短，可得当OD⊥AC时，OD最短，即EF最短，根据等腰三角形的性质，D是AC的中点，则DF=OC，即可求得P的纵坐标，代入二次函数的解析式，即可求得横坐标，得到P的坐标．

【解析】
（1）由A（4，0），可知OA=4，

∵OA=OC=4OB，

∴OA=OC=4，OB=1，

∴C（0，4），B（﹣1，0）．

设抛物线的解析式是y=ax2+bx+c，

则，

解得：，

则抛物线的解析式是：y=﹣x2+3x+4；

（2）存在．

第一种情况，当以C为直角顶点时，过点C作CP1⊥AC，交抛物线于点P1．过点P1作y轴的垂线，垂足是M．

∵∠ACP1=90°，

∴∠MCP1+∠ACO=90°．

∵∠ACO+∠OAC=90°，

∴∠MCP1=∠OAC．

∵OA=OC，

∴∠MCP1=∠OAC=45°，

∴∠MCP1=∠MP1C，

∴MC=MP1，

设P（m，﹣m2+3m+4），

则m=﹣m2+3m+4﹣4，

解得：m1=0（舍去），m2=2．

∴﹣m2+3m+4=6，

即P（2，6）．

第二种情况，当点A为直角顶点时：过A作AP2，交抛物线于点P2，过点P2作y轴的垂线，垂足是N，AP2交y轴于点F．

∴P2N∥x轴，

由∠CAO=45°，

∴∠OAP2=45°，

∴∠FP2N=45°，AO=OF．

∴P2N=NF，

设P2（n，﹣n2+3n+4），

则n=（﹣n2+3n+4）+4，

解得：n1=﹣2，n2=4（舍去），

∴﹣n2+3n+4=﹣6，

则P2的坐标是（﹣2，﹣6）．

综上所述，P的坐标是（2，6）或（﹣2，﹣6）；

（3）连接OD，由题意可知，四边形OFDE是矩形，则OD=EF．

根据垂线段最短，可得当OD⊥AC时，OD最短，即EF最短．

由（1）可知，在直角△AOC中，OC=OA=4，

根据等腰三角形的性质，D是AC的中点．

又∵DF∥OC，

∴DF=OC=2，

∴点P的纵坐标是2．

则﹣x2+3x+4=2，

解得：x=，

∴当EF最短时，点P的坐标是：（，2）或（，2）．