Question

如图，在矩形ABCD中，2AB＞BC，点E和点F为边AD上两点，将矩形沿着BE和CF折叠，点A和点D恰好重合于矩形内部的点G处，

（1）当AB=BC时，求∠GEF的度数；

（2）若AB=，BC=2，求EF的长.  

Answer

(1) 30°;(2)2-2.

【解析】

（1）当AB=BC时，矩形ABCD为正方形，由折叠与正方形的性质，易证△BCG为等边三角形，进而得到∠ABG=30°，根据四边形的内角和可得∠AEG=150°，即可求得∠GEF的值；

（2）由勾股定理的逆定理可得△BCG为等腰直角三角形，则△EGF也是等腰直角三角形，设EG=x，则AE=FD=x，EF=x，得到关于x方程，然后求解方程即可.

（1）当AB=BC时，矩形ABCD为正方形，

由折叠得，AB=BG，CD=CG；∠EGB=∠A=90°，

∵AB=BC=CD，

∴BG=BC=GC，

∴∠BGC=60°，

∴∠ABG=30°，

∴∠AEG=150°，

∴∠GEF=30°；

（2）在矩形ABCD中，AB=CD=，

由折叠得，AB=BG，CD=CG，AE=EG，DF=FG，

∴BG=GC=，

又∵BC=2，

得△BGC为等腰直角三角形，且∠GBC=45°，

与（1）同理可得∠FEG=45°，∠EFG=45°，△EGF为等腰直角三角形 ，

设EG=x，则AE=FD=x，EF=，得，

（2+）x=2 ，得x=，

∴EF= .