Question

在平面直角坐标系中，函数y₁=ax+b（a、b为常数，且ab≠0）的图象如图所示，y₂=bx+a，设y=y₁·y₂.

（1）当b=-2a时，

①若点（1,4）在函数y的图象上，求函数y的表达式；

②若点（x₁，p）和（x₂，q）在函数y的图象上，且，比较p，q的大小;

（2）若函数y的图象与x轴交于（m，0）和（n，0）两点，求证：m=.

Answer

（1） ①y=（-2x+4）（4x-2）；②p＞q;（2）见解析.

【解析】

（1）①由题意可得y=（ax+b）（bx+a），把b=-2a与点（1,4）分别代入求得a的值，即可得到答案；

②令（ax-2a）（-2ax+a）=0，求得x的两个值，进而得到二次函数图象的对称轴为直线x=，再根据抛物线的性质即可判断p，q的大小关系；

（2）令（ax+b）（bx+a）=0，解得x1=-，x2=-，即mn=1，整理即可得解.

【解析】
(1)y=（ax+b）（bx+a），

当b=-2a时，y=（ax-2a）（-2ax+a）

①把（1,4）代入，得，a2=4

由题意可知，a＜0，则a=-2，

∴y=（-2x+4）（4x-2）；

②令（ax-2a）（-2ax+a）=0，

得x1=2，x2=,

∴二次函数y的对称轴为直线x=，

∵，

∴点（x1，p）离对称轴较近，且抛物线y开口向下

所以p＞q,

(3)令（ax+b）（bx+a）=0，

得，x1=-，x2=-，

∴mn=1，

∴m=.