Question

已知在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，以AD为对角线作正方形AEDF，DE交AB于点M，DF交AC于点N，连结EF，EF分别交AB、AD、AC于点G、点O、点H.

（1）求证：EG=HF；

（2）当∠BAC=60°时，求的值；

（3）设,△AEH和四边形EDNH的面积分别为S₁和S₂，求的最大值.

Answer

(1)见解析;(2);(3).

【解析】

（1）根据等腰三角形的判定与性质，正方形的性质易证△AGH为等腰三角形，通过“三线合一”可得OG=OH，即可得证；

（2）由等边三角形的性质可设OH=a，则OA=OE=OF=a，则EH=（）a，HF=（）a，

根据相似三角形判定易证△AEH∽△NFH，△AOH∽△ADC，△HNF∽△CND，然后通过相似三角形的对应边成比整理即可得解；

（3）设EH=2m，则FH=2km，OA=EF=（k+1）m，分别得到S1、S△HNF和S△EDF关于k，m的表达式，再根据S2=S△EDF - S△HNF得到S2的表达式，进而得到关于k的表达式，通过配方法即可得解.

(1)在正方形AEDF中，OE=OF，EF⊥AD，

∵AD⊥BC，

∴EF∥BC，

∴∠AGH=∠B，∠AHG=∠C，

而AB=AC，

∴∠B=∠C，

∴∠AGH=∠AHG，

∴AG=AH，

∴OG=OH，

∴OE-OG=OF-OH，

∴EG=FH；

(2)当∠BAC=60°时，△ABC为正三角形，

∵AD⊥EF，

∴∠OAH=30°，

∴，

设OH=a，则OA=OE=OF=a，

∴EH=（）a，HF=（）a，

∵AE∥FN，

∴△AEH∽△NFH，

∴，

∵EF∥BC，

∴△AOH∽△ADC，

∴，

∴CD=2a，

易证△HNF∽△CND，

∴，

∴；

(3)设EH=2m，则FH=2km，OA=EF=（k+1）m，

∴S1=（k+1）m2，

由（2）得，△AEH∽△NFH，

∴S△HNF=k2S1=k2（k+1）m2，

而S△EDF=OA2=（k+1）2m2，

∴S2=S△EDF - S△HNF =（k+1）2m2 -k2（k+1）m2=（-k2+k+1）（k+1）m2，

∴=-k2+k+1，

∴当k=时，最大=.