Question

三角板是学习数学的重要工具，将一副三角板中的两块直角三角板的直角顶点C按如图方式叠放在一起，当0°＜∠ACE＜90°且点E在直线AC的上方时，解决下列问题：（友情提示：∠A＝60°，∠D＝30°，∠B＝∠E＝45°）．

（1）①若∠DCE＝45°，则∠ACB的度数为　   　；

②若∠ACB＝140°，则∠DCE的度数为　   　；

（2）由（1）猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由．

（3）这两块三角板是否存在一组边互相平行？若存在，请直接写出∠ACE的角度所有可能的值（不必说明理由）；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）①135°②40°（2）∠ACB与∠DCE互补（3）存在一组边互相平行

【解析】

（1）①根据∠DCE和∠ACD的度数，求得∠ACE的度数，再根据∠BCE求得∠ACB的度数；②根据∠BCE和∠ACB的度数，求得∠ACE的度数，再根据∠ACD求得∠DCE的度数；
（2）根据∠ACE=90°-∠DCE以及∠ACB=∠ACE+90°，进行计算即可得出结论；
（3）分五种情况进行讨论：当CB∥AD时，当EB∥AC时，当CE∥AD时，当EB∥CD时，当BE∥AD时，分别求得∠ACE角度．

（1）①∵∠ACD＝90°，∠DCE＝45°，

∴∠ACE＝45°，

∴∠ACB＝90°+45°＝135°，

故答案为：135°；

②∠ACB＝140°，∠ACD＝∠ECB＝90°，

∴∠ACE＝140°﹣90°＝50°，

∴∠DCE＝∠DCA﹣∠ACE＝90°﹣50°＝40°；

故答案为：40°；

（2）∠ACB与∠DCE互补．理由：

∵∠ACD＝90°，

∴∠ACE＝90°﹣∠DCE，

又∵∠BCE＝90°，

∴∠ACB＝90°+90°﹣∠DCE，

∴∠ACB+∠DCE＝90°+90°﹣∠DCE+∠DCE＝180°，

即∠ACB与∠DCE互补；

（3）存在一组边互相平行，

当∠ACE＝45°时，∠ACE＝∠E＝45°，此时AC∥BE；

当∠ACE＝30°时，∠ACB＝120°，此时∠A+∠ACB＝180°，故AD∥BC．