Question

操作思考：如图1，在平面直角坐标系中，等腰的直角顶点C在原点，将其绕着点O旋转，若顶点A恰好落在点处则的长为______；点B的坐标为______直接写结果

感悟应用：如图2，在平面直角坐标系中，将等腰如图放置，直角顶点，点，试求直线AB的函数表达式．

拓展研究：如图3，在直角坐标系中，点，过点B作轴，垂足为点A，作轴，垂足为点C，P是线段BC上的一个动点，点Q是直线上一动点问是否存在以点P为直角顶点的等腰，若存在，请求出此时P的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer

（1），（2）（3），

【解析】

由可得，，，，易证≌，，，因此；

同可证≌，，，，求得最后代入求出一次函数解析式即可；

分两种情况讨论当点Q在x轴下方时，当点Q在x轴上方时根据等腰构建一线三直角，从而求解．

如图1，作轴，轴．

，

，，

，

≌，

，，

．

故答案为，；

如图2，过点B作轴．

，

≌，

，，

．

设直线AB的表达式为

将和代入，得

，

解得，

直线AB的函数表达式．

如图3，设，分两种情况：

当点Q在x轴下方时，轴，与BP的延长线交于点．

，

，

在与中

≌

，

，，

，

解得

此时点P与点C重合，

；

当点Q在x轴上方时，轴，与PB的延长线交于点．

同理可证≌．

同理求得

综上，P的坐标为：，