Question

如图，⊙O的直径AB＝6，AM，BN是⊙O的两条切线，点D是AM上一点，连接OD，作BE∥OD交⊙O于点E，连接DE并延长交BN于点．

（1）求证：DC是⊙O的切线；

（2）设AD＝x，BC＝y．求y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）

（3）若AD＝1，连接AE并延长交BC于F，求EF的长．

Answer

（1）见解析；（2）y＝；（3）EF＝.

【解析】

(1)证明△OAD≌△OED(SAS)，即可求解；

(2)利用OC2＝(OBsinα+BCcosα)2＝OB2+BC2，即可求解；

(3)在Rt△AOD中，tanα＝，则cosα＝，在等腰三角形△EFC中，EF＝2EC•cosα，即可求解．

(1)连接OE，

∵BE∥OD，∴∠AOD＝∠ABE＝∠OEB＝∠DOE＝∠α，

AO＝OE，OD＝OD，

∴△OAD≌△OED(SAS)，

∴∠OED＝∠OAD＝90°，

∴DC是⊙O的切线；

(2)连接OC，

∵DC是⊙O的切线，

∴BE⊥OC，

∠OBE＝∠OCB＝α，

在Rt△AOD中，tanα＝，则sinα＝，cosα＝，

OC2＝(OBsinα+BCcosα)2＝OB2+BC2，

其中OB＝3，BC＝y，代入上式并整理得：y＝；

(3)∵AM∥BN，

∴∠MAF＝∠AFN＝α，而∠DAE＝∠DEA＝α，

∴∠CEF＝∠CFE＝α，

由(2)知，当x＝1时，y＝9，

即：AD＝AE＝1，EC＝CF＝9，

在Rt△AOD中，tanα＝，则cosα＝，

在等腰三角形△EFC中，

EF＝2EC•cosα＝2×9×＝．