Question

如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，过点D垂直于AB的直线交BC于E，交AC延长线于F．

求证：(1)△ADF∽△EDB；

(2)CD²＝DE•DF．

Answer

(1)见解析；（2）见解析

【解析】

（1）根据题意可得∠B+∠A=90°，∠A+∠F=90°，则∠B=∠F，从而得出△ADF∽△EDB；
（2）由（1）得∠B=∠F，再CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，得出CD=DB，根据等边对等角得∠DCE=∠F，则可证明△CDE∽△FDC，从而得，化为乘积式即可CD2=DF•DE．

证明：（1）在Rt△ABC中，∠B+∠A=90°

∵DF⊥AB∴∠BDE=∠ADF=90°∴∠A+∠F=90°，

∴∠B=∠F，

∴△ADF∽△EDB；

（2）由（1）可知△ADF∽△EDB∴∠B=∠F，

∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线∴CD=AD=DB，∴∠DCE=∠B，∴∠DCE=∠F，

∴△CDE∽△FDC，∴=，

∴CD2=DF•DE．