Question

如图，在中，，，．点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿边向点运动．过点作交折线于点，以为边在右侧做正方形．设正方形与重叠部分图形的面积为，点的运动时间为秒（）．

（1）当点在边上时，正方形的边长为______（用含的代数式表示）．

（2）当点落在边上时，求的值．

（3）当点在边上时，求与之间的函数关系式．

（4）作射线交边于点，连结．当时，直接写出的值．

Answer

(1)2t;(2);(3)S=;(4) ：或.

【解析】

（1）由等腰三角形的性质与正方形的性质可得：∠A=∠ADP=45°，即AP=DP=2t；

（2）由等腰直角三角形的性质与正方形的性质可得：AB=AP+PF+FB，即，可求出t的值；（3）分两种情况讨论，根据重叠部分的图像的形状，可求出S与t之间的函数关系式；（4）分点E在△ABC的内部和△ABC的外部两种情况讨论，根据平行线分线段成比例，可求t的值.

（1）∵，，
∴，且，
∴，
∴，
故答案为.

（2）如图，

∵四边形是正方形，
∴，.

∵，

∴.

∴.

∵，

∴，

∴.

（3）当时，正方形与重叠部分图形的面积为正方形的面积，
即，
当时，如图，正方形与重叠部分图形的面积为五边形的面积，

∵，

∴,

∵，

∴，

∴，

∴.

（4）如图，当点在内部，设与交于点，

∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴.

∵，

∴设，则，，
∴，

∴，

∴.

∴.

如图，当点在外部，设与交于点，

∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴.

∵，

∴设，则，，
∴，
∵，

∴，

∴.

综上所述：或.