Question

定义：如图1，在平面直角坐标系中，点是二次函数图象上一点，过点作轴，如果二次函数的图象与关于成轴对称，则称是关于点的伴随函数．如图2，在平面直角坐标系中，二次函数的函数表达式是，点是二次函数图象上一点，且点的横坐标为，二次函数是关于点的伴随函数．

（1）若，求的函数表达式．

（2）过点作轴，如果，线段与的图象交于点，且，求的值．

（3）如图3，二次函数的图象在上方的部分记为，剩余的部分沿翻折得到，由和所组成的图象记为．以、为顶点在轴上方作正方形．直接写出正方形与有三个公共点时的取值范围．

Answer

(1);(2) ;(3)见解析.

【解析】

（1）当时，抛物线与抛物线关于直线对称，得出抛物线的顶点时，即可求出的解析式，（2）由轴，，得，再分与分类讨论即可;（3）分析图象可知：当时，可知和的对称轴关于直线对称，的顶点恰在上，此时与正方形恰由2个交点，故可得出结论.

【解析】
（1）当时，抛物线与抛物线关于直线对称，
∴抛物线的顶点时，

∴抛物线的解析式为.

（2）∵轴，，

∴.

当时，，

.

当时，，

.

（3）分析图象可知：当时，可知和的对称轴关于直线对称，的顶点恰在上，此时与正方形恰由2个交点．
当时，直线与轴重合，与正方形恰由三个顶点．
当时，过点且对称轴左侧部分与正方形有两个交点
当或时，与正方形有三个公共点．