Question

在平面直角坐标系中，A(a，0)、B(b，0)，C(-1，2)(见图①)，且(a+2)²+=0．

(1)求a、b的值；

(2)①在x轴的正半轴上存在一点M，使△COM的面积等于△ABC的面积，求出点M的坐标；

②在坐标轴的其它位置是否存在点M，使△COM的面积等于△ABC的面积仍然成立？若存在，请直接写出符合条件的点M的坐标；

(3)如图②，过点C作CD⊥y轴交y轴于D点，P为线段CD延长线上的动点，连OP，OE平分∠AOP．OF⊥OE，当点P运动时，的值是否会改变？若不变，求其值；若改变，说明理由．

Answer

(1)；(2)①M(，0)；②点M坐标为(-，0)或(5，0)或(-5，0)；(3)的值不会改变，=2．

【解析】

(1)由非负数的性质即可解决问题；

(2)①设M(x，0)(x＞0)．构建方程即可解决问题；

②根据对称性以及三角形的面积公式即可解决问题；

(3)是定值，通过角的和差证明∠OPD=2∠DOE即可.

(1)∵(a+2)2+=0．

又∵(a+2)2≥0，≥0．

∴，

∴．

(2)①若存在M(x，0)(x＞0)．

∵S△COM=S△ABC，

∵C(-1，2)，

∴OM×|yC|×=×AB×|yC|×，

∵A(-2，0），B(3，0)，

∴OM=AB=，

∴M(，0)．

②当点M在x轴负半轴上时，由①可知M(-，0)，

当点M在y轴上时，同理可计算出OM=±5，即M(5，0)或M(-5，0)

满足条件的点M坐标为(-，0)或(5，0)或(-5，0)．

(3)结论：的值不会改变，=2．

理由：如图2中，

∵∠EOF=90°，

∴∠EOP+∠POF=90°，∠FOB+∠AOE=90°，

∵∠AOE=∠POE，

∴∠POF=∠FOB，

∵∠DOE+∠DOF=90°，∠DOF+∠FOB=90°，

∴∠DOE=∠FOB=∠POF，

∴∠POB=2∠DOE，

∵PC∥AB，

∴∠OPD=∠POB，

∴∠OPD=2∠DOE，

∴=2．