Question

如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6，点D为AC边上的动点，点D从点C出发，沿边CA往A运动，当运动到点A时停止，若设点D运动的时间为t秒，点D运动的速度为每秒1个单位长度

（1）当t=2时，CD=______，AD=______；（请直接写出答案）

（2）当△CBD是直角三角形时，t=______；（请直接写出答案）

（3）求当t为何值时，△CBD是等腰三角形？并说明理由．

Answer

（1）CD＝2，AD＝8；（2） t=3.6或10秒；（3）t=5秒或6秒或7.2秒时，△CBD是等腰三角形，理由见解析

【解析】

（1）根据CD=速度×时间列式计算即可得解，利用勾股定理列式求出AC，再根据AD=AC-CD代入数据进行计算即可得解；
（2）分①∠CDB=90°时，利用△ABC的面积列式计算即可求出BD，然后利用勾股定理列式求解得到CD，再根据时间=路程÷速度计算；②∠CBD=90°时，点D和点A重合，然后根据时间=路程÷速度计算即可得解；
（3）分①CD=BD时，过点D作DE⊥BC于E，根据等腰三角形三线合一的性质可得CE=BE，从而得到CD=AD；②CD=BC时，CD=6；③BD=BC时，过点B作BF⊥AC于F，根据等腰三角形三线合一的性质可得CD=2CF，再由（2）的结论解答．

（1）t=2时，CD=2×1=2，

∵∠ABC=90°，AB=8，BC=6，

∴AC==10，

AD=AC-CD=10-2=8；

（2）①∠CDB=90°时，S△ABC=AC•BD=AB•BC，

即×10•BD=×8×6，

解得BD=4.8，

∴CD==3.6，

t=3.6÷1=3.6秒；

②∠CBD=90°时，点D和点A重合，

t=10÷1=10秒，

综上所述，t=3.6或10秒；

故答案为：（1）2，8；（2）3.6或10秒；

（3）①CD=BD时，如图1，过点D作DE⊥BC于E，

则CE=BE，

∴CD=AD=AC=×10=5，

t=5÷1=5；

②CD=BC时，CD=6，t=6÷1=6；

③BD=BC时，如图2，过点B作BF⊥AC于F，

则CF=3.6，

CD=2CF=3.6×2=7.2，

∴t=7.2÷1=7.2，

综上所述，t=5秒或6秒或7.2秒时，△CBD是等腰三角形．