Question

已知：如图，直线EF与AB，CD分别相交于点E，F.

(1)如图1，若∠1＝120°，∠2＝60°，则AB和CD的位置关系为            ；

(2)在(1)的情况下，若点P是平面内的一个动点，连接PE，PF，探索∠EPF，∠PEB，∠PFD三个角之间的关系：

①当点P在图2的位置时，可得∠EPF＝∠PEB＋∠PFD；

请阅读下面的解答过程，并填空(理由或数学式)：

【解析】
如图2，过点P作MN∥AB，

则∠EPM＝∠PEB(两直线平行，内错角相等).

∵AB∥CD(已知)，MN∥AB(作图)，

∴MN∥CD(平行于同一条直线的两条直线互相平行).

∴∠MPF＝∠PFD.

∴∠EPM＋∠MPF＝∠PEB＋∠PFD(等式的性质)，

即∠EPF＝∠PEB＋∠PFD；

②当点P在图3的位置时，∠EPF，∠PEB，∠PFD三个角之间有何关系并证明；

③当点P在图4的位置时，请直接写出∠EPF，∠PEB，∠PFD三个角之间的关系.

Answer

（1）见解析；（2）①见详解；②∠PEB＋∠EPF＋∠PFD＝360°，③∠EPF＋∠PFD＝∠PEB.

【解析】

（1）根据对顶角相等可得∠BEF的度数，根据同旁内角互补，两直线平行，即可得出结论；
（2）①过点P作MN∥AB，根据平行线的性质得∠EPM=∠PEB，且有MN∥CD，所以∠MPF=∠PFD，然后利用等式性质易得∠EPF=∠PEB+∠PFD．
②③的解题方法与①一样，分别过点P作MN∥AB，然后利用平行线的性质得到三个角之间的关系．

（1）∵∠1=120°，
∴∠BEF=120°，
又∵∠2=60°，
∴∠2+∠BEF=180°，
∴AB∥CD；

（2）①如图2，过点P作MN∥AB，则∠EPM=∠PEB（两直线平行，内错角相等）．
∵AB∥CD（已知），MN∥AB（作图），
∴MN∥CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行）．
∴∠MPF=∠PFD，
∴∠EPM+∠FPM=∠PEB+∠PFD（等式的性质），
即∠EPF=∠PEB+∠PFD，
故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线互相平行；∠EPM，∠MPF；

②∠EPF+∠PEB+∠PFD=360°；
证明：如图3，过作PM∥AB，
∵AB∥CD，MP∥AB，
∴MP∥CD，
∴∠BEP+∠EPM=180°，∠DFP+∠FPM=180°，
∴∠BEP+∠EPM+∠FPM+∠PFD=360°，
即∠EPF+∠PEB+∠PFD=360°；

③∠EPF+∠PFD=∠PEB．
理由：如图4，过作PM∥AB，
∵AB∥CD，MP∥AB，
∴MP∥CD，
∴∠PEB=∠MPE，∠PFD=∠MPF，
∵∠EPF+∠FPM=∠MPE，
∴∠EPF+∠PFD=∠PEB．