Question

菱形ABCD中、∠BAD＝120°，点O为射线CA 上的动点，作射线OM与直线BC相交于点E，将射线OM绕点O逆时针旋转60°，得到射线ON，射线ON与直线CD相交于点F．

（1）如图①，点O与点A重合时，点E，F分别在线段BC，CD上，请直接写出CE，CF，CA三条段段之间的数量关系；

（2）如图②，点O在CA的延长线上，且OA＝AC，E，F分别在线段BC的延长线和线段CD的延长线上，请写出CE，CF，CA三条线段之间的数量关系，并说明理由；

（3）点O在线段AC上，若AB＝6，BO＝2，当CF＝1时，请直接写出BE的长．

Answer

（1）CA=CE+CF．（2）CF-CE=AC．（3）BE的值为3或5或1．

【解析】

（1）如图①中，结论：CA=CE+CF．只要证明△ADF≌△ACE（SAS）即可解决问题；

（2）结论：CF-CE=AC．如图②中，如图作OG∥AD交CF于G，则△OGC是等边三角形．只要证明△FOG≌△EOC（ASA）即可解决问题；

（3）分四种情形画出图形分别求解即可解决问题.

（1）如图①中，结论：CA=CE+CF．

理由：∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°

∴AB=AD=DC=BC，∠BAC=∠DAC=60°

∴△ABC，△ACD都是等边三角形，

∵∠DAC=∠EAF=60°，

∴∠DAF=∠CAE，

∵CA=AD，∠D=∠ACE=60°，

∴△ADF≌△ACE（SAS），

∴DF=CE，

∴CE+CF=CF+DF=CD=AC，

∴CA=CE+CF．

（2）结论：CF-CE=AC．

理由：如图②中，如图作OG∥AD交CF于G，则△OGC是等边三角形．

∵∠GOC=∠FOE=60°，

∴∠FOG=∠EOC，

∵OG=OC，∠OGF=∠ACE=120°，

∴△FOG≌△EOC（ASA），

∴CE=FG，

∵OC=OG，CA=CD，

∴OA=DG，

∴CF-EC=CF-FG=CG=CD+DG=AC+AC=AC，

（3）作BH⊥AC于H．∵AB=6，AH=CH=3，

∴BH=3，

如图③-1中，当点O在线段AH上，点F在线段CD上，点E在线段BC上时．

∵OB=2，

∴OH==1，

∴OC=3+1=4，

由（1）可知：CO=CE+CF，

∵OC=4，CF=1，

∴CE=3，

∴BE=6-3=3．

如图③-2中，当点O在线段AH上，点F在线段DC的延长线上，点E在线段BC上时．

由（2）可知：CE-CF=OC，

∴CE=4+1=5，

∴BE=1．

如图③-3中，当点O在线段CH上，点F在线段CD上，点E在线段BC上时．

同法可证：OC=CE+CF，

∵OC=CH-OH=3-1=2，CF=1，

∴CE=1，

∴BE=6-1=5．

如图③-4中，当点O在线段CH上，点F在线段DC的延长线上，点E在线段BC上时．

同法可知：CE-CF=OC，

∴CE=2+1=3，

∴BE=3，

综上所述，满足条件的BE的值为3或5或1．