Question

对于平面直角坐标系xOy中的点P（a，b），若点P′的坐标为（a+kb，ka+b）（其中k为常数，且k≠0），

则称点P′为点P的“k属派生点”．例如：P（1，4）的“2属派生点”为P′（1+2×4，2×1+4），即P′（9，6）．

（Ⅰ）点P（﹣2，3）的“3属派生点”P′的坐标为　   　；

（Ⅱ）若点P的“5属派生点”P′的坐标为（3，﹣9），求点P的坐标；

（Ⅲ）若点P在x轴的正半轴上，点P的“k属派生点”为P′点，且线段PP′的长度为线段OP长度的2倍，求k的值．

Answer

（Ⅰ）（7，﹣3）；（Ⅱ）点P（﹣2，1）（Ⅲ）k=±2

【解析】

（Ⅰ）根据“k属派生点”计算可得；（Ⅱ）设点P的坐标为（x、y），根据“k属派生点”定义及P′的坐标列出关于x、y的方程组，解之可得；（Ⅲ）先得出点P′的坐标为（a，ka），由线段PP′的长度为线段OP长度的2倍列出方程，解之可得．

（Ⅰ）点P（﹣2，3）的“3属派生点”P′的坐标为（﹣2+3×3，﹣2×3+3），即（7，﹣3），

故答案为：（7，﹣3）；

（Ⅱ）设P（x，y），

依题意，得方程组：，

解得，

∴点P（﹣2，1）．

（Ⅲ）∵点P（a，b）在x轴的正半轴上，

∴b=0，a＞0．

∴点P的坐标为（a，0），点P′的坐标为（a，ka），

∴线段PP′的长为点P′到x轴距离为|ka|，

∵P在x轴正半轴，线段OP的长为a，

根据题意，有|PP'|=2|OP|，

∴|ka|=2a，

∵a＞0，

∴|k|=2．

从而k=±2．