Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处．

（1）求AB的长；

（2）求点C和点D的坐标；

（3）y轴上是否存在一点P，使得S_△PAB＝S_△OCD？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）AB=5；C（8，0）．（2）y=x﹣6；（3）P点的坐标为（0，12）或（0，﹣4）．

【解析】

（1）根据一次函数与坐标轴的交点可求出点A、B的坐标，然后根据勾股定理即可求出AB；

（2）根据折叠的性质可得AB=AC，从而求出点C的坐标，设OD＝x，则CD＝DB＝x+4，在Rt△OCD中，由勾股定理可求出x，从而可得点D的坐标；

（3）由S△PAB＝S△OCD，可得S△PAB＝12，又因为点P在y轴上，从而可求出BP的长，进而求得点P的坐标.

【解析】
（1）令x＝0得：y＝4，

∴B（0，4），

∴OB＝4，

令y＝0得：0＝﹣x+4，解得：x＝3，

∴A（3，0），

∴OA＝3，

在Rt△OAB中，AB＝＝5;

（2）∵AB=AC，

∴OC＝OA+AC＝3+5＝8，

∴C（8，0）．

设OD＝x，则CD＝DB＝x+4．

在Rt△OCD中，DC2＝OD2+OC2，即（x+4）2＝x2+82，解得：x＝6，

∴D（0，﹣6）．

（3）∵S△PAB＝S△OCD，

∴S△PAB＝××6×8＝12．

∵点P在y轴上，S△PAB＝12，

∴BP•OA＝12，即×3BP＝12，解得：BP＝8，

∴P点的坐标为（0，12）或（0，﹣4）．