Question

已知如图，已知直线l∥l，直线l和直线l、l交于点C和D，P为直线l上一动点，A、B分别是直线l、l上的不动点．其中PA与l相交为∠1，PA、PB相交为∠2，PB与l相交为∠3．

（1）若P点在线段CD（C、D两点除外）上运动，问∠1、∠2、∠3之间的数量关系是什么？并证明。

（2）若P点在线段CD之外时，问∠1、∠2、∠3之间的数量关系又怎样？直接写出结论，不必证明。

Answer

（1）∠2=∠1+∠3;（2）①当点P在线段DC的延长线上时，∠2=∠3-∠1;②当点P在线段CD的延长线上时，∠2=∠1-∠3.

【解析】

（1）过点P作PE∥l1，根据l1∥l2可知PE∥l2，故可得出∠1=∠APE，∠3=∠BPE．再由∠2=∠APE+∠BPE即可得出结论；
（2）由于点P的位置不确定，故应分当点P在线段DC的延长线上与点P在线段CD的延长线上两种情况进行讨论．

（1）∠2=∠1+∠3．
证明：如图1，过点P作PE∥l1，
∵l1∥l2，
∴PE∥l2，
∴∠1=∠APE，∠3=∠BPE．
又∵∠2=∠APE+∠BPE，
∴∠2=∠1+∠3；

（2）①如图2所示，当点P在线段DC的延长线上时，∠2=∠3-∠1．

理由：过点P作PF∥l1，∠FPA=∠1．
∵l1∥l2，
∴PF∥l2，
∴∠FPB=∠3，
∴∠2=∠FPB-∠FPA=∠3-∠1；
②如图3所示，当点P在线段CD的延长线上时，∠2=∠1-∠3．

理由：过点P作PE∥l2，∠EPB=∠3．
∵l1∥l2，
∴PE∥l1，
∴∠EPA=∠1，
∴∠2=∠EPA-∠EPB=∠1-∠3．