Question

如图：点E在CA延长线上，DE，AB交于点F，且∠BDE=∠AEF，∠B=∠C，∠EFA比∠FDC的余角小10°，P为线段DC上的一动点，Q为PC上一点，且满足∠FQP=∠QFP,FM为∠EFP的平分线，则下列结论：①AB∥CD，②FQ平分∠AFP，③∠B+∠E=140°，④ ∠QFM的角度为定值，其中正确的结论有（   ）个.

 

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Answer

D

【解析】

①由∠BDE=∠AEF可得AE∥BD，进而可得∠B=∠EAF，结合∠B=∠C可得∠EAF=∠C，根据“同位角相等，两直线平行”可得AB∥CD，结论①正确；②由AB∥CD可得∠AFQ=∠FQP，结合∠FQP=∠QFP可得∠AFQ=∠QFP，即FQ平分∠AFP，结论②正确；③由AB∥CD可得出∠EFA=∠FDC，结合∠EFA比∠FDC的余角小10°可求出∠EFA的度数，再由∠B=∠EAF结合三角形内角和定理可求出∠B+∠E=140°，结论③正确；④根据角平分线的定义可得∠MFP=∠EFA+∠AFP以及∠QFP=∠AFP，将其代入∠QFM=∠MFP-∠QFP可求出∠QFM的角度为定值20°，结论④正确．综上即可得结论．

【解析】
①∵∠BDE=∠AEF，
∴AE∥BD，
∴∠B=∠EAF．
∵∠B=∠C，
∴∠EAF=∠C，

∴AB∥CD，结论①正确；
②∵AB∥CD，
∴∠AFQ=∠FQP．
∵∠FQP=∠QFP，
∴∠AFQ=∠QFP，
∴FQ平分∠AFP，结论②正确；
③∵AB∥CD，
∴∠EFA=∠FDC．
∵∠EFA比∠FDC的余角小10°，
∴∠EFA=40°．
∵∠B=∠EAF，∠EAF+∠E+∠EFA=180°，
∴∠B+∠E=180°-∠EFA=140°，结论③正确；
④∵FM为∠EFP的平分线，
∴∠MFP=∠EFP=∠EFA+∠AFP．
∵∠AFQ=∠QFP，
∴∠QFP=∠AFP，
∴∠QFM=∠MFP-∠QFP=∠EFA=20°，结论④正确．
综上所述：正确的结论有①②③④．
故选：D．