Question

如图，平行四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点M为BC上一点，连接AM，且AB=AM，点E为BM中点，AF⊥AB，连接EF，延长FO交AB于点N．

（1）若BM=4，MC=3，AC=，求AM的长度；

（2）若∠ACB=45°，求证：AN+AF=EF．

Answer

（1） ；（2）见解析

【解析】

（1）连接AE．根据等腰三角形的性质得到，AE⊥BM，根据勾股定理求出

即可得解.

（2）连接AE，作EH⊥AF于F，EG⊥DC交DC的延长线于E．根据∠AEC=∠AFC=90°，∠AEC+∠AFC=90°，得到A，E，C，F四点共圆，根据圆周角定理得到∠AFE=∠ACE=45°，继而得到∠EFA=∠EFG=45°，根据等腰直角三角形的性质得到EH=EG，AE=EC，证明Rt△EHA≌Rt△EGC，Rt△EHF≌Rt△EGF，△AON≌△COF根据全等三角形的性质得到，AN=CF，AN+AF=FC+AF=FG﹣CG+FH+AH=2FH，根据即可证明.

（1）【解析】
如图1中，连接AE．

∵AB=AM，BE=EM，

∴AE⊥BM，

在Rt△ACE中，∵AC=，EC=EM+CM=5，

∴

在Rt△AEM中，

（2）如图，连接AE，作EH⊥AF于F，EG⊥DC交DC的延长线于E．

∵∠AEC=∠AFC=90°，

∴∠AEC+∠AFC=90°，

∴A，E，C，F四点共圆，

∴∠AFE=∠ACE=45°，

∴∠EFA=∠EFG=45°，

∵EH⊥FA，EG⊥FG，

∴EH=EG，

∵∠ACE=∠EAC=45°，

∴AE=EC，

∴Rt△EHA≌Rt△EGC（HL），

∴AH=CG，

∵EF=EF，EH=EG，

∴Rt△EHF≌Rt△EGF（HL），

∴FH=FG，

∵AB∥CD，

∴∠OAN=∠OCF，

∵∠AON=∠COF，OA=OC，

∴△AON≌△COF（ASA），

∴AN=CF，

∴AN+AF=FC+AF=FG﹣CG+FH+AH=2FH，

∵

∴