Question

对任意一个五位正整数m，如果首位与末位、千位与十位的和均等于9，且百位为0，则称m为“开学数”．

（1）猜想任意一个“开学数”是否为的倍数，请说明理由；

（2）如果一个正整数a是另一个正整数b的立方，则称正整数a是立方数．若五位正整数m为“开学数”，记，求满足是立方数的所有m．

Answer

(1)见解析;(2)见解析.

【解析】

（1）记五位正整数，根据题意，，设为，为，即可用x、y表示m，对表达式进行因式分解即可得答案；（2）利用（1）中的表达式，根据立方数的定义可确定m的取值范围，即可得立方数的个数，进而可得对应的“开学数”的个数.

：（1）记五位正整数（其中、、、为到之间的正整数，，），由题意可得：，．设为，为（，为到之间的正整数，），

则可表达为：10000x+1000y+0+10(9-y)+9-x

=9999x+990y+99

=99(101x+10y+1)

根据，的取值范围，表达式为一个正整数，

故“开学数”是的倍数．

（2）若记，

则记．

根据正整数立方数的定义，，即的立方根是一个正整数．

，根据，的取值范围，有开学数，，

可见满足为立方数的是：，，…；对应的“开学数”为：，，…，共计个数．